3 tipos de derivadas cujas soluções são fáceis de lembrar

O aluno iniciante vai conhecer três tipos de derivadas que podem facilmente serem assimiladas no seu aprendizado. Neste tópico conheceremos as regras para derivar uma função constante, uma função identidade e uma função exponencial. Essas funções sempre estarão presentes na maioria das disciplinas de Ciências Exatas, como o Cálculo I e a Física. Após o estudo não será difícil perceber que ao derivar funções constantes o resultado sempre será zero. Também será fácil perceber que ao derivarmos uma função identidade o resultado sempre será um. E, por último, assimilaremos facilmente que a derivada de uma função exponencial do tipo $y=e^{x}$ será a própria função. As regras básicas para esses tipos de funções serão melhores entendidas e fixadas se a executarmos por meio de frequentes exercícios de fixação, isso fará que o principiante "mastigue” e aprenda de verdade esse conteúdo. Na postagem anterior intitulada Conheça a regra da homogeneidade para calcular derivadas apenas mencionamos sobre a constante em uma derivada, porém, não chegamos a derivá-la. Nesse tópico vamos aprender a derivar uma função constante. As equações desta postagem foram escritas no editor Latex e são melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE FUNÇÕES CONSTANTES

Nas funções abaixo, já sabemos que o símbolo $f(x)$ é lido assim: "f de x" e tem o mesmo significado do $y$, por exemplo, quando é dado uma função constante $f(x) = 5$, podemos também escrevê-la como $y = 5.$

• $ a)\hspace{0.2in}f(x) = 1;$

• $ b)\hspace{0.2in}f(x) = 2;$

• $ c)\hspace{0.2in}f(x) = \pi.$

MANEIRA ALTERNATIVA DE ESCREVER FUNÇÕES CONSTANTES

Podemos escrever as funções acima da seguinte maneira:

• $a)\hspace{0.2in}y = 1;$

• $b)\hspace{0.2in}y = 2;$

• $c)\hspace{0.2in}y = \pi.$

REGRA PARA DERIVAR UMA FUNÇÃO CONSTANTE

“A derivada de uma constante C em relação a qualquer variável é igual a zero, com $C\neq 0.”$

Matematicamente, se

$$f(x)=C,$$ então $$f'(x)=0.$$

No decorrer deste estudo e dos demais, sempre empregaremos o operador diferencial evidenciado na aula As 3 notações de derivadas usadas em cursos superiores. Portanto, o exemplo acima, na notação do operador de derivadas, pode ser representado assim:

$$\frac{dC}{dx}=0.$$

PRÁTICA: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE FUNÇÃO CONSTANTE

1º) Dada as funções abaixo, calcule suas derivadas.

• $a)\hspace{0.2in}f(x)=10$

O valor da constante $C$ é igual a 10. Pela regra da constante, se

$$f(x)=10,$$ então, $$f'(x)=0.$$

O mesmo resultado obteremos se aplicarmos o operador de derivadas

$$\frac{d}{dx}$$

na função $f(x).$ Normalmente escrevemos assim:

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(10)}{dx}=0.$$

• $b)\hspace{0.2in}f(x)=4$

O valor da constante $C$ é igual a 4. Pela regra da constante, se

$$f(x)=4,$$

então

$$f'(x)=0.$$

Se aplicarmos o operador de derivadas na função obteremos o mesmos resultado:

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(4)}{dx}=0.$$

• $c)\hspace{0.2in}f(x)= \pi;$

O valor da constante $C$ é igual a constante $\pi.$ Pela regra da constante, se

$$f(x)=\pi,$$

então

$$f'(x)=0.$$

ou aplicando o operador, obtemos que

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(\pi)}{dx}=0.$$

• $d)\hspace{0.2in}f(x)= 2+\sqrt{5};$

O valor da constante $C$ é igual a

$$2+\sqrt{5}.$$

Para facilitar a notação podemos escrever a função

$$f(x)=y.$$

Portanto,

$$y=2+\sqrt{5}.$$

Aplicando o operador na função $y$, temos

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(2+\sqrt{5})}{dx}=\frac{d(2)}{dx}+\frac{d(\sqrt{5})}{dx}=0 + 0=0.$$

O mesmo resultado é obtido aplicando a notação funcional: pela regra da constante, se

$$f(x)=y=2+\sqrt{5},$$

então $f'$ é a função constante definida pela equação

$$f'(x)=0.$$

• $e)\hspace{0.2in}f(x)= C.$

A derivada da constante $C$ em relação a qualquer variável (no caso, $x$) é igual a zero ou seja, $$\frac{d(C)}{dx}=0.$$

A FUNÇÃO IDENTIDADE

Vamos definir a regra de derivação rapidamente: Se $f(x) = x$, então $f’(x) = 1.$. A seguir, vamos entender essa regra na prática.

2º) Dada a função $f(x)=x$, calcule $f'(x).$

A função dada pode ser escrita como $$f(x)=y=x.$$ Derivando a função em relação a $x$, temos $$\frac{d(f(x)}{dx}=\frac{d(y)}{dx}=\frac{dx}{dx}=1.$$

3º) Calcule as funções $\frac{da}{da}$, $\frac{dy}{dy}$, $\frac{du}{du}$, $\frac{dz}{dz}$ e $\frac{dw}{dw}$.

• Derivando a primeira função em relação a $a$, temos que

se $f(a) = a$, então $f’(a) = 1$ ou $$\frac{da}{da}=1.$$

• Derivando a segunda função em relação a $y$, temos que

se $f(y) = y$, então $f’(y) = 1$ ou $$\frac{dy}{dy}=1.$$

• Derivando a terceira função em relação a $u$, temos que

se $f(u) = u$, então $f’(u) = 1$ ou $$\frac{du}{du}=1.$$

• Derivando a quarta função em relação a $z$, temos que

se $f(z) = z$, então $f’(z) = 1$ ou $$\frac{dz}{dz}=1.$$

• Derivando a quinta função em relação a $w$, temos que

se $f(w) = w$, então $f’(w) = 1$ ou $$\frac{dw}{dw}=1.$$

A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL $e^{x}$

A regra de derivação diz que a derivada da função exponencial do tipo $e^{x}$ é a própria função exponencial. A seguir, vamos entender essa regra na prática.

4º) Dada a função $f(x)=e^{x}$, calcule $f'(x).$

Podemos escrever a função dada da seguinte maneira: $$y=e^{x}.$$ A função exponencial dada é $e^{x}$ e ($x$) é o expoente da função. A regra diz que a derivada desse tipo de função exponencial é igual a própria função exponencial, portanto, $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(e^{x})}{dx}={e^{x}}.$$

5º) Calcule as funções $f(z)=e^{z}$, $f(y)=e^{y}$, $f(u)=e^{u}.$

• Derivando a primeira função em relação a $z$, temos que

se $f(z) = e^{z}$, então $f’(z) = e^{z}$ ou $$\frac{d(e^{z})}{dz}=e^{z}.$$

• Derivando a segunda função em relação a $y$, temos que

se $f(y) = e^{y}$, então $f’(y) = e^{y}$ ou $$\frac{d(e^{y})}{dy}=e^{y}.$$

• Derivando a terceira função em relação a $u$, temos que

se $f(u) = e^{u}$, então $f’(u) = e^{u}$ ou $$\frac{d(e^{u})}{dy}=e^{u}.$$

6º) Calcule as funções $f(x)=e^{ikx}$, $f(x)=e^{2x}$, $f(x)=e^{x^{2}}.$

Para resolver esses tipos de funções exponenciais a regra diz que devemos repetir a função ($e^{ikx}$) multiplicando-a pela derivada do expoente ($ikx$) da função, veja como:

• Derivando a primeira função, temos que

se $f(z) = e^{ikx}$, então $$\frac{d(e^{ikx})}{dx}=e^{ikx}.\frac{d(ikx)}{dx}=e^{ikx}.ik\frac{dx}{dx}=e^{ikx}.ik.1=ik.e^{ikx}.$$

• Derivando a segunda função, temos 

se $f(z) = e^{ikx}$, então $$\frac{d(e^{2x})}{dx}=e^{2x}.\frac{d(2x)}{dx}=e^{2x}.2\frac{dx}{dx}=e^{2x}.2.1=2e^{2x}.$$

• Derivando a terceira função, temos 

se $f(x)=e^{x^{2}}$, então $$\frac{d(e^{x^{2}})}{dx}=e^{x^{2}}.\frac{d(x^{2})}{dx}=e^{x^{2}}.2x=2xe^{x^{2}}.$$

7º) Calcule a funções $f(x)=e^{x}$ com o auxílio da última regra.

Multiplicaremos a função ($e^{x}$) pela derivada do expoente ($x$) da função.

Se $f(x) = e^{x}$, então $$\frac{d(e^{x})}{dx}=e^{x}.\frac{d(x)}{dx}=e^{x}.1=e^{x}.$$

Agora entendemos de fato porque a derivada de uma função exponencial desse tipo equivale à própria função. O seu desafio de hoje é acessar o programa da postagem anterior e digitar nele as derivadas deste estudo. Espero ter ajudado. Bons estudos!

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Conheça a regra da homogeneidade para o cálculo de derivadas

Quando ingressamos na universidade, ao cursar o primeiro período, nos deparamos com uma disciplina muito maravilhosa, chamada Cálculo I. Nesta disciplina o aluno inicia o estudo sobre derivadas e a maioria dos alunos sentem dificuldades em assimilar o conteúdo dado em sala de aula devido a vários motivos, dentre os quais podemos citar: o cansaço devido às suas atividades profissionais, despreparo matemático no nível médio, falta de tempo para estudar o exposto no quadro e quantidade de assuntos passados em outras disciplinas. Neste estudo, com o propósito de ajudar o aluno principiante, vamos aprender uma técnica bem básica, passo a passo, sobre derivação chamada de regra da homogeneidade. Vamos seguir a mesma metodologia de ensino usada no nosso estudo intitulado: Como derivar funções usando a regra da potência, o qual você deve acessar antes de começar este novo estudo. As equações desta postagem foram escritas no editor Latex e são melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE ALGUMAS FUNÇÕES NAS QUAIS PODEMOS APLICAR A REGRA DA HOMOGENEIDADE

• $f(x)=-1x^{3};$

• $f(x)=3x^{-5};$

• $f(x)=1x^{7};$

• $f(x)=-5x^{10};$

• $f(x)=-2x^{-4}.$

APLICAÇÃO DA REGRA DA HOMOGENEIDADE

"A derivada de uma constante ($k$) vezes uma função ($u$) é a constante ($k$) vezes a derivada da função ($u$)", ou seja,

$$\frac{d}{dx}(ku)=k\frac{du}{dx}.$$

Como na aula anterior, vamos tentar usar em todos os exercícios as notações funcionais e a notação de Leibniz usando o seguinte operador diferencial:

$$\frac{d}{dx}.$$

Vamos também utilizar a regra da potência (estudada na aula anterior):

$$f'(x)=nx^{n-1}.$$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1º) Derive a seguinte função: $f(x)=6x^3.$

Podemos escrever a função dada como: $y=6x^3.$ Note que a constante é $k=6$ e a função é $u=x^3.$ Derivando a função em relação a $x$ e aplicando a regra da homogeneidade, temos:

$$f'(y)=f'(6x^3)=6.f'(x^3).$$

Agora, aplicando a regra da potência na função acima, temos:

$$6.f'(x^3)=6.3.x^{3-1}=18x^2.$$

Obteremos o mesmo resultado se aplicarmos na função o operador diferencial, veja:

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(6x^3)}{dx} = 6.(3.x^{3-1})= 18x^{2}.$$

2º) Derive a seguinte função: $f(x)=\frac{1}{3}x^4.$

A função acima pode ser escrita como

$$y=\frac{1}{3}x^4.$$

A constante é $c=\frac{1}{3}$ e a função é $u=x^4$. Usando a notação funcional vamos derivar a função em relação a $x$ e aplicar a regra da homogeneidade. Veja:

$$f'(y)=f'(\frac{1}{3}x^4)=\frac{1}{3}.f'(x^4).$$

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos:

$$\frac{1}{3}.f'(x^4)=\frac{1}{3}.4x^{4-1}=\frac{4}{3}x^{3}.$$

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador diferencial:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(\frac{1}{3}x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.(4.x^{4-1})=\frac{4}{3}x^{3}.$$

3º) Derive a seguinte função: $f(x)=-5x^{10}.$

A função acima pode ser escrita como

$$y=-5x^{10}.$$

A constante é $-5$ e a função é $u=x^{10}$. Usando a notação funcional (de Lagrange) vamos derivar a função com respeito a $x$ e aplicar a regra da homogeneidade, veja:

$$f'(y)=f'(-5x^{10})=-5.f'(x^{10}).$$

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos:

$$-5.f'(x^{10})=-5.10x^{10-1}=-50x^{9}.$$

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador diferencial, ou seja, na notação de Leibniz temos que:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(-5x^{10})}{dx}=-5.10.x^{10-1}=-50x^{9}.$$

4º) Derive a seguinte função: $f(x)=100x^{1/2}.$

A função acima pode ser escrita como

$$y=100x^{\frac{1}{2}}.$$

A constante é $100$ e a função é $u=x^{1/2}$. Usando a notação funcional vamos derivar a função em relação a $x$ e aplicar a regra da homogeneidade, veja:

$$f'(y)=f'(100x^{\frac{1}{2}})=100.f'(x^{\frac{1}{2}}).$$

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos que:

$$100.f'(x^{\frac{1}{2}})=100.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}-1}=50x^{-\frac{1}{2}}.$$

Podemos também escrever o resultado acima como:

$$50x^{-\frac{1}{2}}=50\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=50\frac{1}{\sqrt[2]{x^{1}}}=\frac{50}{\sqrt{x}}.$$

Portanto,

$$f'(100x^{\frac{1}{2}})=\frac{50}{\sqrt{x}}.$$

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(100x^{1/2})}{dx}=100.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}-1}$$
$$=50x^{-\frac{1}{2}}=50\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{50}{\sqrt{x}}.$$

5º) Derive a seguinte função: $f(x)=\frac{1}{3}x^4.$

A função acima pode ser escrita como $y=\frac{1}{3}x^4.$ Vamos usar apenas a aplicação do operador diferencial na nossa função. A constante é $c=\frac{1}{3}$ e a função é $u=x^4$. Derivando-a em relação a $x$ e aplicando a regra da homogeneidade e da potência, temos:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(\frac{1}{3}x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.\frac{d(x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.(4.x^{4-1})=\frac{4}{3}.x^{3}.$$

DESAFIOS PARA VOCÊ

Calcule no seu borrão as seguintes derivadas:

• $f(x)=-\frac{1}{2}x^7$;

• $f(x)=\frac{1}{2}x^7;$

• $f(x)=-9x^{9};$

• $f(x)=300x^{1/3};$

• $f(x)=\frac{1}{5}x^{1/2}.$

PROGRAMA QUE CALCULA DERIVADAS PASSO A PASSO

Você pode digitar no programa de derivadas os exemplos acima da seguinte maneira:

• f(x)=-1/2*(x^7) ou y=-1/2*(x^7);

• f(x)=1/2*(x^7) ou y=1/2*(x^7);

• f(x)=-9*(x^9) ou y=-9*(x^9);

• f(x)=300*x^(1/3) ou y=300*x^(1/3);

• f(x)=(1/5)*x^(1/2) ou y=(1/5)*x^(1/2).

Após digitar a derivada no programa, clique em Submit e você terá o resultado. Para ver a operação passo a passo, após clicar em Submit, clique em Show steps. Aproveite e digite no programa todas as funções dadas nesta postagem e compare os resultados. Bons estudos!

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Aprenda facilmente como derivar usando a regra da potência

Nesta etapa vamos aprender como derivar uma função usando uma regra bem básica de derivação: a regra da potência. Inicialmente, vamos priorizar as derivadas de funções cujas potências possuem expoentes inteiros positivos e usar as notações de Leibnitz e a funcional para representá-las. Como o nosso site é mais voltado para principiantes na área de exatas, os exemplos aqui postados são os mais básicos possíveis. Nossa metodologia de ensino é bem simples e é semelhante a que seguimos no estudo anterior, o qual você deve acessar antes de começar este, intitulado: Como indicar derivadas na notação de Leibnitz e na notação funcional. Aqui seguiremos a rotina de visualizar exemplos de funções, enunciar a regra da derivação, resolver exercícios para fixar o conteúdo e provocar o leitor para resolucionar questões bem fáceis. Lembrando que as equações são escritas no editor Latex, portanto, melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e lápis nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE FUNÇÕES QUE POSSUEM EXPOENTES INTEIROS POSITIVOS

• $f(x) = {x^{11}};$

• $f(x) = {x^{3}};$

• $f(x) = 2{x^{7}};$

• $f(x) = -9{x^{4}};$

• $f(x)=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};$

• $f(x)=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};$

• $f(x)=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.$

As funções acima podem ser escritas da seguinte maneira:

• $y = {x^{11}};$

• $y = {x^{3}};$

• $y = 2{x^{7}};$

• $y = -9x^{4};$

• $y=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};$

• $y=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};$

• $y=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.$

Note, acima, que apenas trocamos o $f(x)$ por $y.$

REGRA DE DERIVAÇÃO PARA FUNÇÕES QUE POSSUEM EXPOENTES INTEIROS POSITIVOS

Se $f(x) = x^{n}$, onde $n$ é um número positivo e $x$ é diferente de zero, então

$$f'(x)=nx^{n-1}.$$

A NOTAÇÃO FUNCIONAL E A NOTAÇÃO DE LEIBNITZ

Vamos tentar usar em todos os exercícios a notação funcional $f'(x)$ e a notação de Leibniz, usando o seguinte operador diferencial:

$$\frac{d}{dx}.$$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1º) Derive a seguinte função: $f(x)=x^{3}.$

A função acima pode ser escrita como
$$y=x^{3}.$$

Derivando-a em relação a $x,$ aplicando-se a regra na equação, temos que:

$$f'(y)=f'(x^{3})=3x^{3-1}=3x^{2}.$$

Podemos calcular essa derivada com outra notação: basta aplicar o operador diferencial na função $y$ e teremos o mesmo resultado ($3x^{2}$). Assim:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{3})}{dx}=3x^{3-1}=3x^{2}.$$

2º) Derive a seguinte função: $f(x)=x^{10}.$

A equação acima pode ser escrita como $$y=x^{10}.$$ Deivando-a com respeito a $x$ e aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(x^{10})=10x^{10-1}=10x^{9}.$$

Agora, vamos calcular a derivada desta função aplicando o operador diferencial na equação, veja:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{10})}{dx}=10x^{10-1}=10x^{9}.$$

3º) Dado $a=t^{12}$, calcule $\frac{da}{dt}.$

Derivando-a em relação a $t$ e aplicando a regra, temos que:
$$f'(a)=f'(t^{12})=12t^{12-1}=12t^{11}.$$

Vamos calcular a derivada desta função aplicando o operador diferencial na função, veja:

$$\frac{d(a)}{dt}=\frac{d(t^{12})}{dt}=12t^{12-1}=12t^{11}.$$

4º) Ache a derivada de $f(x)=-\frac{2}{x^{-5}}.$

Já vimos que a função acima pode ser escrita da seguinte maneira:

$$y=-\frac{2}{x^{-5}}=-2\frac{1}{x^{-5}}=-2x^{5}.$$ Derivando-a com respeito a $x,$ aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(-2x^{5})=-5.2x^{5-1}=-10x^{4}.$$ Aplicando-se o operador diferencial na função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(-2x^{5})}{dx}=-2\frac{d(x^{5})}{dx}=-2.5x^{5-1}=-10x^{4}.$$

Nesta questão aplicamos, sutilmente, uma outra regra chamada "regra da homogeneidade" que ainda iremos estudar em outras postagens.

5º) Ache a derivada de $f(x)= \frac{11}{x^{-10}}.$

A função acima pode ser escrita como:

$$y=\frac{11}{x^{-10}}=11\frac{1}{x^{-10}}=11x^{10}.$$ Derivando-a em relação a $x$, aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(11x^{10})=10.11x^{10-1}=110x^{9}.$$ Aplicando-se o operador diferencial na função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(11x^{10})}{dx}=11\frac{d(x^{10})}{dx}=11.10x^{10-1}=110x^{9}.$$

6º) Ache a derivada de $f(x)=41x^{2}.$

Já vimos que a função acima pode ser escrita da seguinte maneira: $$y=41x^{2}.$$ Derivando-a em relação a $x$, aplicando a regra, temos que: $$f'(y)=f'({41x^{2}})=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.$$ Aplicando-se o operador diferencial na função, temos: $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(41x^{2})}{dx}=41\frac{d(x^{2})}{dx}=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.$$ Portanto, $$f'(x) = \frac{dy}{dx}=82x.$$

DESAFIOS PARA VOCÊ

Calcule em seu caderno as seguintes derivadas:

a) $f(x)=x^{12};$
b) $f(x)=x^{21};$
c) $f(x)=-\frac{3}{x^{-9}};$
d) $f(x)= \frac{20}{x^{-20}};$
e) $f(x)=11x^{8}.$

Após calcular as derivadas acima, faça-as no programa abaixo e compare as respostas.

VEJA AS MANEIRAS DE DIGITAR AS DERIVADAS

a) f(x)=x^12;
b) f(x)=x^21;
c) f(x)=-3/{x^-9};
d) f(x)=20/{x^-20};
e) f(x)=11*x^8.

Após digitar a derivada no programa clique em Submit e você terá o resultado. Para ver a operação passo a passo, após clicar em Submit, clique em Show steps. Aproveite e digite no programa todas as funções dadas nesta postagem e compare os resultados. Bons estudos!

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Veja as 3 notações de derivadas usadas em cursos superiores

Na Física e nas Engenharias é muito usada a notação de derivadas, criada pelo matemático alemão Leibnitz (1646-1716), chamada de notação de Leibnitz, portanto, é muito importante o esforço em aprendê-la. Leibnitz foi um autodidata que viveu no século XVII e adquiriu grandes conhecimentos na área de Filosofia, Direito, Teologia e Matemática. Ele percebeu como eram importantes as notações no auxílio dos cálculos. Este estudo é mais voltado para principiantes no assunto e as equações deste estudo são escritas em Latex e são melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos.

APRENDA COMO REPRESENTAR DERIVADAS

Veja abaixo, respectivamente, alguns exemplos de notações criadas por Leibnitz, como o ponto de multiplicação, a notação para diferenciais em $x$ e $y$, para a integral de $ydx$, a notação "é semelhante a" e a notação é "congruente a":

$$(.), dx, dy, \int ydx, \sim, \simeq.$$

Nesta aula não resolveremos as derivadas, apenas as indicaremos por meio de suas notações, porém, nas postagens vindoras aprenderemos a resolvê-las, passo a passo, através das várias regras de diferenciação. Vamos aproveitar e tentar indicar as derivadas dadas na notação de Leibnitz, de Lagrange ou funcional e na notação de Newton.

A NOTAÇÃO DE GOTTFRIED WEILHELM LEIBNITZ

Considerado como um dos últimos sábios, Leibnitz foi o primeiro a empregar as expressões "função", "cálculo diferencial" e "cálculo integral".

Consideremos, pois, uma função dada por

$$f(x)=x^{2}.$$

Lê-se: função $f$ de $x$ é igual a $x^{2}.$

Queremos indicar a derivada dessa função, para isso, basta aplicar na mesma uma instrução para diferenciá-la, a qual chamamos de operador diferencial, cujo símbolo é dado por

$$\frac{{\color{Magenta} d}}{{\color{Magenta} dx}}.$$

Precisamos aplicar esse operador na função dada. Veja como:

$$\frac{{\color{Magenta} d}({\color{Blue} f(x)})}{{\color{Magenta} dx}}=\frac{{\color{Magenta} d}({\color{Blue} x^{2}})}{{\color{Magenta} dx}},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $f(x)$ em relação a $x$ é igual a derivada da função $x^{2}$ em relação a $x.$ Podemos, também, indicar a derivada dessa função usando os seguintes passos: inicialmente, vamos chamar a função $f(x)$ de $y$: $$f(x)=y.$$

Agora, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{2})}{dx}.$$

EXEMPLOS DE USOS DA NOTAÇÃO DE LEIBNITZ PARA INDICAR DERIVADAS

1º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)= 5x^{2}.$

Podemos, também, indicar a derivada dessa função da seguinte maneira:vamos chamar a função f(x) de y, assim:

$$f(x)=y=5x^{2}.$$

Agora, vamos usar a notação de Leibnitz em y, veja:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(5x^{2})}{dx},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $5x^{2}$ em relação a x. Note que foi bem simples a notação: bastou aplicar o símbolo $\frac{d}{dx}$ (que chamamos de operador diferencial - uma instrução para diferenciar a função dada) na função dada. Veja como é fácil:

$$f'(x)=(5x^{2})'.$$

2º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)=-3x^{8}.$

Chamaremos a função $f(x)$ de $y$, assim:

$$y = -3x^{8}.$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(-3x^{8})}{dx},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $-3x^{8}$ com respeito a $x.$

INDICANDO DERIVADAS NA NOTAÇÃO DE LEIBNITZ E LAGRANGE

Como é só para indicar a notação sem resolver a derivada fica muito simples, veja como: $$f'(x)=(-3x^{8})'.$$

3º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)={\sqrt{x}}.$

Vamos chamar a função $f(x)$ de $y$, assim:

$$y ={\sqrt{x}}.$$

A expressão acima pode ser escrita assim:

$$y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^\frac{1}{2})}{dx},$$

que pode ser lida assim: derivada da função

$$\sqrt{x}$$ ou derivada da função
$$x^{\frac{1}{2}}$$

em relação a $x.$

Na notação funcional (de Lagrange) a expressão pode ser represntada assim: $$f'(x)=({\sqrt{x}})'$$ ou $$f'(x)=(x^{\frac{1}{2}})'.$$

4º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)=\frac{1}{x}.$

Vamos chamar a função $f(x)$ de $y$, assim: $$y=\frac{1}{x}.$$ A expressão acima pode ser como $$y=\frac{1}{x}=1.\frac{1}{x^{1}}=1.x^{-1}=x^{-1}.$$ A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja: $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^{-1})}{dx},$$ que pode ser lida assim: derivada da função $x^{-1}$ ou $\frac{1}{x}$ em relação a $x.$Assim: $$f'(x)=(\frac{1}{x})'.$$

5º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada a função:$f(x)= x^{5}$ em $x =1.$

Chamaremos a função $f(x)$ de $y$, assim:

$$y =x^{5}.$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$ veja:

$$\frac{dy}{dx}\mid_{x=1},$$ que equivale a $$\frac{d(x^{5})}{dx}\mid_{x=1}.$$

que pode ser lida assim: derivada da função $x^{5}$ em relação a $x$ em $x=1$.

Na notação de Lagrange teremos: $$f'(x)=(x^{5})'\mid_{(x=1)}.$$

6º) Use a notação de Leibnitz para indicar a função: $y=f(x)$ em $x ={x_{0}}.$

Temos que $$y=f(x).$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{dy}{dx}\mid_{x=o}.$$ Na notação funcional fica assim por $$f'(x)=(x^{5})'\mid_{(x=o)},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $f(x)$ em relação a $x$ em $x = x_{0}$.

COMO INDICAR DERIVADAS NA NOTAÇÃO DE NEWTON

Além da notação de Leibnitz e da notação funcional ($f'$), devido a Joseph Lagrange (introduzida no século XVIII), existe a maravilhosa notação de Newton que é bastante usada em alguns livros técnicos que trata, por exemplo, da Mecânica Teórica onde a segunda lei de Newton (força resultante é o produto da massa pela aceleração) é enunciada em termos de derivadas, veja:

$$F_{r}= m\ddot{x}.$$

Note que, na lei acima (2ª lei de Newton) a grandeza aceleração é escrita com dois pontos em cima do $x$ :

$$a = \ddot{x}.$$

A grandeza velocidade é dada como:

$$v=\dot{x},$$

e lida assim: $x$ ponto.

A energia cinética, por exemplo, é denotada como

$$E_{c}={\frac{m\dot{x}^{2}}{2}}.$$

Note que Newton, em sua notação, expressou as derivadas em função da grandeza tempo. Veremos isso em outro tópico.

Nesta aula não aprendemos a resolver derivadas e sim a reconhecer um operador diferencial, a  indicar algumas funções nas notações de Leibnitz, de Lagrange (ou funcional) e de na notação de Newton. Nas aulas seguintes aprenderemos algumas técnicas de como resolver derivadas.

Se você conseguiu entender estudo básico sobre notações de derivadas, certamente terá um bom proveito nos próximos tópicos.

PROGRAMA QUE CALCULA DERIVADAS PASSO A PASSO

Você pode digitar no programa alguns exemplos (que ainda vamos aprender a resolver nas próximas aulas) da seguinte maneira:

f(x)=-1/2*(x^7) ou y=-1/2*(x^7), f(x)=1/2*(x^7) ou y=1/2*(x^7), f(x)=-9*(x^9) ou y=-9*(x^9), f(x)=300*x^(1/3) ou y=300*x^(1/3) e f(x)=(1/5)*x^(1/2) ou y=(1/5)*x^(1/2).

Se você quiser resolver essas derivadas siga os procedimentos: após digitar a derivada no programa, clique em Submit e você terá o resultado. Para ver a operação passo a passo, após clicar em Submit, clique em Show steps. Bons estudos!

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Aprenda a calcular o conjugado de um número complexo

Os números complexos são extremamente importantes no uso da Física Quântica. Nesta, uma função de onda, por exemplo, é complexa, pois especifica simultaneamente duas funções, uma com parte real e a outra com parte imaginária. A função de onda na Física Clássica,  como exemplo, a onda em uma corda, não é complexa, pois não aparece a unidade imaginária $(i)$ em suas equações. O fato de as funções de onda na Quântica serem complexas é uma característica desejável porque torna evidente que não devemos tentar dar às funções de onda uma existência física. Lembre-se que uma grandeza complexa não pode ser medida por qualquer instrumento físico real. Os físicos do século dezenove questionaram sobre o que eram as ondas eletromagnéticas e em que elas se propagavam e, ao tentar responder essas questões, foram levados ao conceito enganador do éter. Como as funções da Quântica são complexas, não seremos tentados a repetir o mesmo erro. As funções de onda são instrumentos de cálculo e têm significado apenas no contexto da teoria do físico chamado Schroedinger, da qual elas fazem parte.

Não se preocupe, a introdução acima foi apenas para que você perceba quão grande é a importância dos números complexos na Física. Nesta aula, porém, queremos apenas que você continue aprendendo os conceitos básicos dos números complexos, por meio de exercícios de fixação, nos seguintes assuntos: o oposto de um número complexo, a adição de um número complexo com o seu oposto, o conjugado de um número complexo, a adição de um número complexo com o seu conjugado e o conjugado do conjugado de um número complexo. No final da postagem existe um desafio bem fácil para você para testar seus conhecimentos, sua paciência e sua perseverança em aprender mais e mais. Esta aula complementa a anterior, intitulada Aprenda facilmente a reconhecer um número complexo. Lembrando que as equações desse estudo são escritas em Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos!

O OPOSTO DE UM NÚMERO REAL

Aprendemos no nível médio que o conjunto dos números reais, representado pela letra $\Re$, engloba todos os números racionais e irracionais. Vamos recordar também que o oposto de qualquer número real é o seu simétrico, ou melhor, dois números que estão à mesma distância da origem ($0$) em uma reta numérica e em sentidos contrários, são chamados números opostos ou simétricos.

Por exemplo, o oposto de $20$ é $-20$ e o oposto de $-7$ é $+7$. Note que o sinal de menos na frente do número indica seu oposto, veja:

a) $–(+5)$ é o oposto de $+5$, ou seja, $–5$;

b) $–(–20)$ é o oposto de $–20$, ou seja, $20$;

c) $–(–(–100))$ é o oposto do oposto de $–100$, ou seja, é $–100.$

Note que um número somado com seu oposto é sempre zero, por exemplo, $$20 + (-20)=0.$$

O OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Para encontrarmos o oposto de um número complexo, precisamos inverter os sinais, da parte real e do coeficiente da parte imaginária. Representaremos o oposto de um número complexo por $-z$. Exemplos:

a) Dado o número complexo $z = 10 – 9i$, o seu oposto será:

$$-z=-10+9i.$$

b) Dado o número complexo $z = -1 – 4i$, o seu oposto será:

$$-z=1+4i.$$

c) Dado o número complexo $z = -2 – 5i$, o seu oposto será:

$$-z=2+5i.$$

ADICIONANDO UM NÚMERO COMPLEXO AO SEU OPOSTO

O que acontece se adicionarmos um número complexo ao seu oposto? O resultado será zero. Como exemplo, vamos adicionar o número complexo $$z=2+5i$$ com o seu oposto $$-z=-2-5i.$$ O resultado será $$z+(-z)=2+5i+(-2-5i)=2-2+5i-5i=0+0=0.$$

O CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O conjugado de um número complexo é representado pelo símbolo $z^{*}$ ou $\bar{z}.$ Para se achar o conjugado de um número complexo, precisamos inverter apenas o sinal do coeficiente da parte imaginária desse número. Observe os conjugados dos seguintes números complexos:

a)$z=5+2i$

$$\bar{z}=5-2i.$$

b)$z=-3-2i$

$$z^{*}=-3+2i.$$

c)$z=-10+10i$

$$\bar{z}=-10-10i.$$

ADICIONANDO UM NÚMERO COMPLEXO AO SEU CONJUGADO

O que acontece se adicionarmos o número complexo com o seu conjugado? Sempre resultará em um complexo com y = 0, ou seja, um número real. No exemplo acima da letra c, temos que $$z+z^{*}=-10-10+10i-10i=-20+0=-20.$$ Então podemos afirmar que o conjugado de um número complexo é o número que, adicionado ao número complexo, fornecerá sempre como resultado um real. No exemplo, $z=5+2i$, vamos achar seu conjugado: $$z+\bar{z}=5+2i+5-2i=10+0=10.$$ No exemplo dado acima, pela definição de números complexos $z=x+iy$, temos que $$z=10+i.0=10+0=10,$$ que é um número complexo real e isso nos faz perceber que, todo número real é número complexo, mas nem todo número complexo é número real.

O CONJUGADO DO CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Vamos considerar o seguinte número complexo: $z=7 + 3i$. Seu conjugado será $z^{*}=7-3i$ que, por sua vez, terá um conjugado dado por $(z^{*})^{*}=7+3i$. Podemos perceber que o conjugado do conjugado de um número complexo será o próprio número complexo e pode ser representado por $\bar{\bar{z}}$ ou $(z^{*})^{*}$. Observe-os nos exemplos a seguir:

a)$z=1-2i$

O conjugado de $z$ será $\bar{z}=1+2i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$\bar{\bar{z}}=1-2i=z.$$

b)$z=-4-10i$

O conjugado de $z$ será $z^{*}=-4+10i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$(z^{*})^{*}=-4-10i=z.$$

c)$z=-15+i$

O conjugado de $z$ será $z^{*}=-15-i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$(z^{*})^{*}=-15+i=z.$$

ESCREVENDO NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA $ax + bi$

Vamos recordar o método para saber quando o número é real ou complexo, veja exemplos:

• O número $i^{16}$ é real? Sim, pois

$$i^{16}=(i^{2})^8 =(-1)^{8}=1.$$

• O número $i^{10}$ é real? Sim, pois

$$i^{10}=(i^{2})^5 =(-1)^{5}=-1.$$

• E o número $3i+2i^{2}$ é real ou complexo? É complexo, pois

$$3i+2i^{2}=3i+2(−1)=3i-2.$$

• Escreva o número complexo $1+i+i^{2}+i^{3}+i ^{4}$ na forma $a+bi$, onde $a$ e $b$ são números reais e $i= \sqrt{-1}$.

Sabemos que $$i^{2}=-1;$$ $$i^{3}=(i^{2}).i=(−1).i=-i;$$ $$i^{4}=( i^{2})^2=(−1)^2=1.$$ Então, temos que $$1+i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=1+i+(-1)+(-i)+1=1+i-1-i+1=1.$$ Portanto, a resposta é 1. Desafios semelhantes você encontrará a seguir.

DESAFIOS PARA VOCÊ

Estes desafios servem para você testar seus conhecimentos, sua paciência, sua perseverança em aprender mais e mais. Vencendo esses desafios você estará mais apto a encarar a próxima postagem. Agora faça a sua parte: papel e caneta nas mãos e resolva as cinco questões, na sequência, tentando escrever um número complexo na forma $ax+bi$ e tentando descobrir se os números dados são reais ou complexos. Lá no site dos desafios existem muitas dicas para você resolver as questões. Se você conseguir resolver as questões, pode comentar logo abaixo a sua vitória. Bom, para começar clique na figura abaixo e boa sorte!

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Como reconhecer um número complexo

O físico, matemático e médico italiano chamado de Girolano Cardano, em 1545, publicou uma obra intitulada Ars Magma, onde pela primeira vez foram apresentadas resoluções de equações de 3º grau (as cúbicas) e de 4º grau (as quárticas). A solução das quárticas foi inicialmente descoberta pelo antigo auxiliar de Cardano, o Ludovico Ferrari, e a sugestão para a solução das cúbicas foi a ele fornecida pelo matemático Niccolo Tartaglia. Em 1572, o matemático italiano Raffaelle Bombelli, publicou uma obra chamada de Algebra, onde começou a operar com o símbolo $\sqrt{-1}$ da mesma forma como operava com números reais. A partir desse momento, os matemáticos começaram a usar em seus trabalhos raízes quadradas de números negativos. No século XVIII, o matemático suíco Leonhard Euler passou a representar $\sqrt{-1}$ por $i$. Nesse mesmo século Abraham de Moivre introduziu métodos mais modernos na investigação das propriedades dos números complexos. No início do século XIX o físico Carl Friedrich Gauss criou, juntamente com o matemático suíco Jean Robert Argand e por meio de trabalhos independentes, a representação geométrica dos números complexos no plano.

INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS

O conjunto dos números complexos é representado pela letra $\complement$. Os números complexos são muito utilizados na própria Matemática, Engenharias, Eletromagnetismo, Física quântica e Teoria do Caos. Neste estudo teremos noções bem básicas sobre os números complexos. A finalidade desta aula é apenas para que o aluno reconheça um número complexo e simplifique algumas unidades imaginárias. Lembrando que na quântica vamos precisar muito trabalhar com números complexos. As equações deste estudo são produzidas em Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox.

EXEMPLOS DE NÚMEROS COMPLEXOS

a) $z={\color{Blue}4}+{\color{Red}6}i;$

b) $z={\color{Blue}1}-{\color{Red}5}i;$

c) $z={\color{Blue} -3}+{\color{Red} 9}i;$

d) $z={\color{Blue}2}+{\color{Red}3}i;$

e) $z=\frac{{\color{Blue}3}}{{\color{Blue}5}}+\frac{{\color{Red}1}i}{{\color{Red}5}}.$

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS

Se somarmos um número complexo, por exemplo $9i$, com um número real, por exemplo $6$, a representação que teremos será a de um número complexo ($z$), ou seja: $$z=9i+6.$$ Nos exemplos abaixo, perceba a parte real de $z$ (Re(z)) e a parte imaginária de $z$ (Im(z)): $$z={\color{Blue}1}-{\color{Red}5}i;$$ $$z={\color{Blue}2}+{\color{Red}3}i;$$ $$z={\color{Blue}5}-{\color{Red}1}i;$$ $$z={\color{Blue}12}-{\color{Red}9}i.$$ Note que a parte imaginária de z conta com a presença do i (unidade imaginária). Escrevemos os exemplos acima para visualizarmos que os números complexos podem ser escritos na sua forma algébrica $$z={\color{Blue}a}+{\color{Red}b}i$$
(onde z é um número complexo, a e b  são números reais e i é a unidade imaginária)

ou
$$z={\color{Blue}x}+{\color{Red}y}i,$$
onde $z$ é um número complexo, x e y  são números reais e i é a unidade imaginária. Já começamos a visualizar que um número complexo é formado por uma parte real e uma parte imaginária com coeficiente ($y$) real.

O NÚMERO COMPLEXO PURO

O número complexo z passará ser um número real se e somente se sua parte imaginária for igual a zero. Veja exemplo:
$$z={\color{Blue}4}+{\color{Red}0i}$$ $$={\color{Blue}4}+0$$ $$={\color{Blue}4}.$$ O número complexo z passará ser um número complexo puro se e somente se sua parte real for igual a zero e sua parte imaginária for diferente de zero. Veja exemplo:
$$z={\color{Blue}0}+{\color{Red}6i}$$ $$ = {\color{Red}6i}.$$ Note que um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma $z=x+yi$, em que x e y são números e $i$ denota a unidade imaginária. Já um número imaginário é um número complexo cuja parte real é igual a zero e a parte imaginária é diferente de zero, ou seja, um número da forma $yi.$

A RELAÇÃO FUNDAMENTAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real e, finalmente, todo real é um número complexo em que $y = 0$ na forma $x+yi$. os números complexos em que a parte real é nula, como $4i$ e $-i$, são chamados, como já visto, de imaginários puros. A unidade imaginária é definida como o número que tem a propriedade de ser $$i^{2}=-1,$$ ou seja, $$i=\sqrt{-1}.$$ Com o uso da unidade imaginária no conjunto dos números complexos as equações de 2º grau, com o delta menor que zero, possuem solução não-vazia. Vamos lembrar que a raiz quadrada de quatro é mais ou menos 2, pois 2 ao quadrado equivale a quatro e, também, dois elevado a menos dois equivale a quatro. No conjunto dos complexos a raiz quadrada de -4 equivale a -2i ou a 2i. Vamos elevar essas raizes ao quadrado e perceber que o resultado equivale a -4, veja:
$$\sqrt{-4}=\pm 2i,$$
pois,
$$2i.2i=2.2.i.i=4.i^{2}=4.(-1)=-4$$
e
$$(-2)i.(-2)i=(-2).(-2).i.i=4.i^{2}=4.(-1)=-4.$$

No conjunto dos complexos, qual é a raiz quadrada de -1?

Usando o mesmo raciocínio:
$$\sqrt{-1}=\pm i,$$
pois,
$$i.i=-1$$ e $$(-i).(-i)=(-1i).(-1i)=(-1).(-1).(i).(i)=1.(-1)=-1.$$

DICAS IMPORTANTES SOBRE POTÊNCIAS DE UNIDADES IMAGINÁRIAS

A propriedade mais importante da unidade imaginária i é que $i^{2}$. Por exemplo, quanto vale $i^{3}$?

A resposta é: $i^{3}=i^{2}.i=(-1).i=-i$

E quanto vale $i^{1}$? Todo número elevado a 1 equivale ao próprio número, então $i^1=i.$

Quando essa propriedade é aplicada a $i^{4}$, temos: $i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1.$ Sendo assim, podemos subtrair o expoente por múltiplos de 4 e obter o mesmo resultado. Verificaremos isso a seguir.

SIMPLIFICAÇÃO DE UNIDADES IMAGINÁRIAS

a) Simplifique $i^{17}$.

O resto da divisão de 17 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 1. Eleve i a esse resto, assim: $i^1=i.$ Portanto, $i^{17}=i$.

b) Simplifique $i^{21}$.

O resto da divisão de 21 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 1. Eleve i a esse resto, assim: $i^1=i.$ Portanto, $i^{21}=i$.

c) Simplifique $i^{36}$.

O resto da divisão de 36 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 0. Eleve i a esse resto, assim: $i^0=1.$ Portanto, $i^{36}=1$.

d) Simplifique $i^{38}$.

O resto da divisão de 38 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 2. Eleve i a esse resto, assim: $i^2=-1.$ Portanto, $i^{38}=-1$.

e) Simplifique $i^{39}$.

O resto da divisão de 39 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 3. Eleve i a esse resto, assim: $i^3=-i.$ Portanto, $i^{39}=-i$.

DESAFIO PARA VOCÊ

Resolva as 5 questões sobre simplificação de unidades imaginárias (clique na figura abaixo para entrar no desafio) e você estará mais apto para estudar o nosso próximo tópico. Por favor, tente acertar 125 pontos. Boa sorte!

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