Aprenda a calcular o conjugado de um número complexo

Os números complexos são extremamente importantes no uso da Física Quântica. Nesta, uma função de onda, por exemplo, é complexa, pois especifica simultaneamente duas funções, uma com parte real e a outra com parte imaginária. A função de onda na Física Clássica,  como exemplo, a onda em uma corda, não é complexa, pois não aparece a unidade imaginária $(i)$ em suas equações. O fato de as funções de onda na Quântica serem complexas é uma característica desejável porque torna evidente que não devemos tentar dar às funções de onda uma existência física. Lembre-se que uma grandeza complexa não pode ser medida por qualquer instrumento físico real. Os físicos do século dezenove questionaram sobre o que eram as ondas eletromagnéticas e em que elas se propagavam e, ao tentar responder essas questões, foram levados ao conceito enganador do éter. Como as funções da Quântica são complexas, não seremos tentados a repetir o mesmo erro. As funções de onda são instrumentos de cálculo e têm significado apenas no contexto da teoria do físico chamado Schroedinger, da qual elas fazem parte.

Não se preocupe, a introdução acima foi apenas para que você perceba quão grande é a importância dos números complexos na Física. Nesta aula, porém, queremos apenas que você continue aprendendo os conceitos básicos dos números complexos, por meio de exercícios de fixação, nos seguintes assuntos: o oposto de um número complexo, a adição de um número complexo com o seu oposto, o conjugado de um número complexo, a adição de um número complexo com o seu conjugado e o conjugado do conjugado de um número complexo. No final da postagem existe um desafio bem fácil para você para testar seus conhecimentos, sua paciência e sua perseverança em aprender mais e mais. Esta aula complementa a anterior, intitulada Aprenda facilmente a reconhecer um número complexo. Lembrando que as equações desse estudo são escritas em Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos!

O OPOSTO DE UM NÚMERO REAL

Aprendemos no nível médio que o conjunto dos números reais, representado pela letra $\Re$, engloba todos os números racionais e irracionais. Vamos recordar também que o oposto de qualquer número real é o seu simétrico, ou melhor, dois números que estão à mesma distância da origem ($0$) em uma reta numérica e em sentidos contrários, são chamados números opostos ou simétricos.

Por exemplo, o oposto de $20$ é $-20$ e o oposto de $-7$ é $+7$. Note que o sinal de menos na frente do número indica seu oposto, veja:

a) $–(+5)$ é o oposto de $+5$, ou seja, $–5$;

b) $–(–20)$ é o oposto de $–20$, ou seja, $20$;

c) $–(–(–100))$ é o oposto do oposto de $–100$, ou seja, é $–100.$

Note que um número somado com seu oposto é sempre zero, por exemplo, $$20 + (-20)=0.$$

O OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Para encontrarmos o oposto de um número complexo, precisamos inverter os sinais, da parte real e do coeficiente da parte imaginária. Representaremos o oposto de um número complexo por $-z$. Exemplos:

a) Dado o número complexo $z = 10 – 9i$, o seu oposto será:

$$-z=-10+9i.$$

b) Dado o número complexo $z = -1 – 4i$, o seu oposto será:

$$-z=1+4i.$$

c) Dado o número complexo $z = -2 – 5i$, o seu oposto será:

$$-z=2+5i.$$

ADICIONANDO UM NÚMERO COMPLEXO AO SEU OPOSTO

O que acontece se adicionarmos um número complexo ao seu oposto? O resultado será zero. Como exemplo, vamos adicionar o número complexo $$z=2+5i$$ com o seu oposto $$-z=-2-5i.$$ O resultado será $$z+(-z)=2+5i+(-2-5i)=2-2+5i-5i=0+0=0.$$

O CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O conjugado de um número complexo é representado pelo símbolo $z^{*}$ ou $\bar{z}.$ Para se achar o conjugado de um número complexo, precisamos inverter apenas o sinal do coeficiente da parte imaginária desse número. Observe os conjugados dos seguintes números complexos:

a)$z=5+2i$

$$\bar{z}=5-2i.$$

b)$z=-3-2i$

$$z^{*}=-3+2i.$$

c)$z=-10+10i$

$$\bar{z}=-10-10i.$$

ADICIONANDO UM NÚMERO COMPLEXO AO SEU CONJUGADO

O que acontece se adicionarmos o número complexo com o seu conjugado? Sempre resultará em um complexo com y = 0, ou seja, um número real. No exemplo acima da letra c, temos que $$z+z^{*}=-10-10+10i-10i=-20+0=-20.$$ Então podemos afirmar que o conjugado de um número complexo é o número que, adicionado ao número complexo, fornecerá sempre como resultado um real. No exemplo, $z=5+2i$, vamos achar seu conjugado: $$z+\bar{z}=5+2i+5-2i=10+0=10.$$ No exemplo dado acima, pela definição de números complexos $z=x+iy$, temos que $$z=10+i.0=10+0=10,$$ que é um número complexo real e isso nos faz perceber que, todo número real é número complexo, mas nem todo número complexo é número real.

O CONJUGADO DO CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Vamos considerar o seguinte número complexo: $z=7 + 3i$. Seu conjugado será $z^{*}=7-3i$ que, por sua vez, terá um conjugado dado por $(z^{*})^{*}=7+3i$. Podemos perceber que o conjugado do conjugado de um número complexo será o próprio número complexo e pode ser representado por $\bar{\bar{z}}$ ou $(z^{*})^{*}$. Observe-os nos exemplos a seguir:

a)$z=1-2i$

O conjugado de $z$ será $\bar{z}=1+2i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$\bar{\bar{z}}=1-2i=z.$$

b)$z=-4-10i$

O conjugado de $z$ será $z^{*}=-4+10i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$(z^{*})^{*}=-4-10i=z.$$

c)$z=-15+i$

O conjugado de $z$ será $z^{*}=-15-i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$(z^{*})^{*}=-15+i=z.$$

ESCREVENDO NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA $ax + bi$

Vamos recordar o método para saber quando o número é real ou complexo, veja exemplos:

• O número $i^{16}$ é real? Sim, pois

$$i^{16}=(i^{2})^8 =(-1)^{8}=1.$$

• O número $i^{10}$ é real? Sim, pois

$$i^{10}=(i^{2})^5 =(-1)^{5}=-1.$$

• E o número $3i+2i^{2}$ é real ou complexo? É complexo, pois

$$3i+2i^{2}=3i+2(−1)=3i-2.$$

• Escreva o número complexo $1+i+i^{2}+i^{3}+i ^{4}$ na forma $a+bi$, onde $a$ e $b$ são números reais e $i= \sqrt{-1}$.

Sabemos que $$i^{2}=-1;$$ $$i^{3}=(i^{2}).i=(−1).i=-i;$$ $$i^{4}=( i^{2})^2=(−1)^2=1.$$ Então, temos que $$1+i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=1+i+(-1)+(-i)+1=1+i-1-i+1=1.$$ Portanto, a resposta é 1. Desafios semelhantes você encontrará a seguir.

DESAFIOS PARA VOCÊ

Estes desafios servem para você testar seus conhecimentos, sua paciência, sua perseverança em aprender mais e mais. Vencendo esses desafios você estará mais apto a encarar a próxima postagem. Agora faça a sua parte: papel e caneta nas mãos e resolva as cinco questões, na sequência, tentando escrever um número complexo na forma $ax+bi$ e tentando descobrir se os números dados são reais ou complexos. Lá no site dos desafios existem muitas dicas para você resolver as questões. Se você conseguir resolver as questões, pode comentar logo abaixo a sua vitória. Bom, para começar clique na figura abaixo e boa sorte!

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Como reconhecer um número complexo

O físico, matemático e médico italiano chamado de Girolano Cardano, em 1545, publicou uma obra intitulada Ars Magma, onde pela primeira vez foram apresentadas resoluções de equações de 3º grau (as cúbicas) e de 4º grau (as quárticas). A solução das quárticas foi inicialmente descoberta pelo antigo auxiliar de Cardano, o Ludovico Ferrari, e a sugestão para a solução das cúbicas foi a ele fornecida pelo matemático Niccolo Tartaglia. Em 1572, o matemático italiano Raffaelle Bombelli, publicou uma obra chamada de Algebra, onde começou a operar com o símbolo $\sqrt{-1}$ da mesma forma como operava com números reais. A partir desse momento, os matemáticos começaram a usar em seus trabalhos raízes quadradas de números negativos. No século XVIII, o matemático suíco Leonhard Euler passou a representar $\sqrt{-1}$ por $i$. Nesse mesmo século Abraham de Moivre introduziu métodos mais modernos na investigação das propriedades dos números complexos. No início do século XIX o físico Carl Friedrich Gauss criou, juntamente com o matemático suíco Jean Robert Argand e por meio de trabalhos independentes, a representação geométrica dos números complexos no plano.

INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS

O conjunto dos números complexos é representado pela letra $\complement$. Os números complexos são muito utilizados na própria Matemática, Engenharias, Eletromagnetismo, Física quântica e Teoria do Caos. Neste estudo teremos noções bem básicas sobre os números complexos. A finalidade desta aula é apenas para que o aluno reconheça um número complexo e simplifique algumas unidades imaginárias. Lembrando que na quântica vamos precisar muito trabalhar com números complexos. As equações deste estudo são produzidas em Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox.

EXEMPLOS DE NÚMEROS COMPLEXOS

a) $z={\color{Blue}4}+{\color{Red}6}i;$

b) $z={\color{Blue}1}-{\color{Red}5}i;$

c) $z={\color{Blue} -3}+{\color{Red} 9}i;$

d) $z={\color{Blue}2}+{\color{Red}3}i;$

e) $z=\frac{{\color{Blue}3}}{{\color{Blue}5}}+\frac{{\color{Red}1}i}{{\color{Red}5}}.$

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS

Se somarmos um número complexo, por exemplo $9i$, com um número real, por exemplo $6$, a representação que teremos será a de um número complexo ($z$), ou seja: $$z=9i+6.$$ Nos exemplos abaixo, perceba a parte real de $z$ (Re(z)) e a parte imaginária de $z$ (Im(z)): $$z={\color{Blue}1}-{\color{Red}5}i;$$ $$z={\color{Blue}2}+{\color{Red}3}i;$$ $$z={\color{Blue}5}-{\color{Red}1}i;$$ $$z={\color{Blue}12}-{\color{Red}9}i.$$ Note que a parte imaginária de z conta com a presença do i (unidade imaginária). Escrevemos os exemplos acima para visualizarmos que os números complexos podem ser escritos na sua forma algébrica $$z={\color{Blue}a}+{\color{Red}b}i$$
(onde z é um número complexo, a e b  são números reais e i é a unidade imaginária)

ou
$$z={\color{Blue}x}+{\color{Red}y}i,$$
onde $z$ é um número complexo, x e y  são números reais e i é a unidade imaginária. Já começamos a visualizar que um número complexo é formado por uma parte real e uma parte imaginária com coeficiente ($y$) real.

O NÚMERO COMPLEXO PURO

O número complexo z passará ser um número real se e somente se sua parte imaginária for igual a zero. Veja exemplo:
$$z={\color{Blue}4}+{\color{Red}0i}$$ $$={\color{Blue}4}+0$$ $$={\color{Blue}4}.$$ O número complexo z passará ser um número complexo puro se e somente se sua parte real for igual a zero e sua parte imaginária for diferente de zero. Veja exemplo:
$$z={\color{Blue}0}+{\color{Red}6i}$$ $$ = {\color{Red}6i}.$$ Note que um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma $z=x+yi$, em que x e y são números e $i$ denota a unidade imaginária. Já um número imaginário é um número complexo cuja parte real é igual a zero e a parte imaginária é diferente de zero, ou seja, um número da forma $yi.$

A RELAÇÃO FUNDAMENTAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real e, finalmente, todo real é um número complexo em que $y = 0$ na forma $x+yi$. os números complexos em que a parte real é nula, como $4i$ e $-i$, são chamados, como já visto, de imaginários puros. A unidade imaginária é definida como o número que tem a propriedade de ser $$i^{2}=-1,$$ ou seja, $$i=\sqrt{-1}.$$ Com o uso da unidade imaginária no conjunto dos números complexos as equações de 2º grau, com o delta menor que zero, possuem solução não-vazia. Vamos lembrar que a raiz quadrada de quatro é mais ou menos 2, pois 2 ao quadrado equivale a quatro e, também, dois elevado a menos dois equivale a quatro. No conjunto dos complexos a raiz quadrada de -4 equivale a -2i ou a 2i. Vamos elevar essas raizes ao quadrado e perceber que o resultado equivale a -4, veja:
$$\sqrt{-4}=\pm 2i,$$
pois,
$$2i.2i=2.2.i.i=4.i^{2}=4.(-1)=-4$$
e
$$(-2)i.(-2)i=(-2).(-2).i.i=4.i^{2}=4.(-1)=-4.$$

No conjunto dos complexos, qual é a raiz quadrada de -1?

Usando o mesmo raciocínio:
$$\sqrt{-1}=\pm i,$$
pois,
$$i.i=-1$$ e $$(-i).(-i)=(-1i).(-1i)=(-1).(-1).(i).(i)=1.(-1)=-1.$$

DICAS IMPORTANTES SOBRE POTÊNCIAS DE UNIDADES IMAGINÁRIAS

A propriedade mais importante da unidade imaginária i é que $i^{2}$. Por exemplo, quanto vale $i^{3}$?

A resposta é: $i^{3}=i^{2}.i=(-1).i=-i$

E quanto vale $i^{1}$? Todo número elevado a 1 equivale ao próprio número, então $i^1=i.$

Quando essa propriedade é aplicada a $i^{4}$, temos: $i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1.$ Sendo assim, podemos subtrair o expoente por múltiplos de 4 e obter o mesmo resultado. Verificaremos isso a seguir.

SIMPLIFICAÇÃO DE UNIDADES IMAGINÁRIAS

a) Simplifique $i^{17}$.

O resto da divisão de 17 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 1. Eleve i a esse resto, assim: $i^1=i.$ Portanto, $i^{17}=i$.

b) Simplifique $i^{21}$.

O resto da divisão de 21 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 1. Eleve i a esse resto, assim: $i^1=i.$ Portanto, $i^{21}=i$.

c) Simplifique $i^{36}$.

O resto da divisão de 36 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 0. Eleve i a esse resto, assim: $i^0=1.$ Portanto, $i^{36}=1$.

d) Simplifique $i^{38}$.

O resto da divisão de 38 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 2. Eleve i a esse resto, assim: $i^2=-1.$ Portanto, $i^{38}=-1$.

e) Simplifique $i^{39}$.

O resto da divisão de 39 por 4 (não, esqueça: sempre divida por 4) é 3. Eleve i a esse resto, assim: $i^3=-i.$ Portanto, $i^{39}=-i$.

DESAFIO PARA VOCÊ

Resolva as 5 questões sobre simplificação de unidades imaginárias (clique na figura abaixo para entrar no desafio) e você estará mais apto para estudar o nosso próximo tópico. Por favor, tente acertar 125 pontos. Boa sorte!

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