3 tipos de derivadas cujas soluções são fáceis de lembrar

O aluno iniciante vai conhecer três tipos de derivadas que podem facilmente serem assimiladas no seu aprendizado. Neste tópico conheceremos as regras para derivar uma função constante, uma função identidade e uma função exponencial. Essas funções sempre estarão presentes na maioria das disciplinas de Ciências Exatas, como o Cálculo I e a Física. Após o estudo não será difícil perceber que ao derivar funções constantes o resultado sempre será zero. Também será fácil perceber que ao derivarmos uma função identidade o resultado sempre será um. E, por último, assimilaremos facilmente que a derivada de uma função exponencial do tipo $y=e^{x}$ será a própria função. As regras básicas para esses tipos de funções serão melhores entendidas e fixadas se a executarmos por meio de frequentes exercícios de fixação, isso fará que o principiante "mastigue” e aprenda de verdade esse conteúdo. Na postagem anterior intitulada Conheça a regra da homogeneidade para calcular derivadas apenas mencionamos sobre a constante em uma derivada, porém, não chegamos a derivá-la. Nesse tópico vamos aprender a derivar uma função constante. As equações desta postagem foram escritas no editor Latex e são melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE FUNÇÕES CONSTANTES

Nas funções abaixo, já sabemos que o símbolo $f(x)$ é lido assim: "f de x" e tem o mesmo significado do $y$, por exemplo, quando é dado uma função constante $f(x) = 5$, podemos também escrevê-la como $y = 5.$

• $ a)\hspace{0.2in}f(x) = 1;$

• $ b)\hspace{0.2in}f(x) = 2;$

• $ c)\hspace{0.2in}f(x) = \pi.$

MANEIRA ALTERNATIVA DE ESCREVER FUNÇÕES CONSTANTES

Podemos escrever as funções acima da seguinte maneira:

• $a)\hspace{0.2in}y = 1;$

• $b)\hspace{0.2in}y = 2;$

• $c)\hspace{0.2in}y = \pi.$

REGRA PARA DERIVAR UMA FUNÇÃO CONSTANTE

“A derivada de uma constante C em relação a qualquer variável é igual a zero, com $C\neq 0.”$

Matematicamente, se

$$f(x)=C,$$ então $$f'(x)=0.$$

No decorrer deste estudo e dos demais, sempre empregaremos o operador diferencial evidenciado na aula As 3 notações de derivadas usadas em cursos superiores. Portanto, o exemplo acima, na notação do operador de derivadas, pode ser representado assim:

$$\frac{dC}{dx}=0.$$

PRÁTICA: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE FUNÇÃO CONSTANTE

1º) Dada as funções abaixo, calcule suas derivadas.

• $a)\hspace{0.2in}f(x)=10$

O valor da constante $C$ é igual a 10. Pela regra da constante, se

$$f(x)=10,$$ então, $$f'(x)=0.$$

O mesmo resultado obteremos se aplicarmos o operador de derivadas

$$\frac{d}{dx}$$

na função $f(x).$ Normalmente escrevemos assim:

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(10)}{dx}=0.$$

• $b)\hspace{0.2in}f(x)=4$

O valor da constante $C$ é igual a 4. Pela regra da constante, se

$$f(x)=4,$$

então

$$f'(x)=0.$$

Se aplicarmos o operador de derivadas na função obteremos o mesmos resultado:

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(4)}{dx}=0.$$

• $c)\hspace{0.2in}f(x)= \pi;$

O valor da constante $C$ é igual a constante $\pi.$ Pela regra da constante, se

$$f(x)=\pi,$$

então

$$f'(x)=0.$$

ou aplicando o operador, obtemos que

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(\pi)}{dx}=0.$$

• $d)\hspace{0.2in}f(x)= 2+\sqrt{5};$

O valor da constante $C$ é igual a

$$2+\sqrt{5}.$$

Para facilitar a notação podemos escrever a função

$$f(x)=y.$$

Portanto,

$$y=2+\sqrt{5}.$$

Aplicando o operador na função $y$, temos

$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(2+\sqrt{5})}{dx}=\frac{d(2)}{dx}+\frac{d(\sqrt{5})}{dx}=0 + 0=0.$$

O mesmo resultado é obtido aplicando a notação funcional: pela regra da constante, se

$$f(x)=y=2+\sqrt{5},$$

então $f'$ é a função constante definida pela equação

$$f'(x)=0.$$

• $e)\hspace{0.2in}f(x)= C.$

A derivada da constante $C$ em relação a qualquer variável (no caso, $x$) é igual a zero ou seja, $$\frac{d(C)}{dx}=0.$$

A FUNÇÃO IDENTIDADE

Vamos definir a regra de derivação rapidamente: Se $f(x) = x$, então $f’(x) = 1.$. A seguir, vamos entender essa regra na prática.

2º) Dada a função $f(x)=x$, calcule $f'(x).$

A função dada pode ser escrita como $$f(x)=y=x.$$ Derivando a função em relação a $x$, temos $$\frac{d(f(x)}{dx}=\frac{d(y)}{dx}=\frac{dx}{dx}=1.$$

3º) Calcule as funções $\frac{da}{da}$, $\frac{dy}{dy}$, $\frac{du}{du}$, $\frac{dz}{dz}$ e $\frac{dw}{dw}$.

• Derivando a primeira função em relação a $a$, temos que

se $f(a) = a$, então $f’(a) = 1$ ou $$\frac{da}{da}=1.$$

• Derivando a segunda função em relação a $y$, temos que

se $f(y) = y$, então $f’(y) = 1$ ou $$\frac{dy}{dy}=1.$$

• Derivando a terceira função em relação a $u$, temos que

se $f(u) = u$, então $f’(u) = 1$ ou $$\frac{du}{du}=1.$$

• Derivando a quarta função em relação a $z$, temos que

se $f(z) = z$, então $f’(z) = 1$ ou $$\frac{dz}{dz}=1.$$

• Derivando a quinta função em relação a $w$, temos que

se $f(w) = w$, então $f’(w) = 1$ ou $$\frac{dw}{dw}=1.$$

A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL $e^{x}$

A regra de derivação diz que a derivada da função exponencial do tipo $e^{x}$ é a própria função exponencial. A seguir, vamos entender essa regra na prática.

4º) Dada a função $f(x)=e^{x}$, calcule $f'(x).$

Podemos escrever a função dada da seguinte maneira: $$y=e^{x}.$$ A função exponencial dada é $e^{x}$ e ($x$) é o expoente da função. A regra diz que a derivada desse tipo de função exponencial é igual a própria função exponencial, portanto, $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(e^{x})}{dx}={e^{x}}.$$

5º) Calcule as funções $f(z)=e^{z}$, $f(y)=e^{y}$, $f(u)=e^{u}.$

• Derivando a primeira função em relação a $z$, temos que

se $f(z) = e^{z}$, então $f’(z) = e^{z}$ ou $$\frac{d(e^{z})}{dz}=e^{z}.$$

• Derivando a segunda função em relação a $y$, temos que

se $f(y) = e^{y}$, então $f’(y) = e^{y}$ ou $$\frac{d(e^{y})}{dy}=e^{y}.$$

• Derivando a terceira função em relação a $u$, temos que

se $f(u) = e^{u}$, então $f’(u) = e^{u}$ ou $$\frac{d(e^{u})}{dy}=e^{u}.$$

6º) Calcule as funções $f(x)=e^{ikx}$, $f(x)=e^{2x}$, $f(x)=e^{x^{2}}.$

Para resolver esses tipos de funções exponenciais a regra diz que devemos repetir a função ($e^{ikx}$) multiplicando-a pela derivada do expoente ($ikx$) da função, veja como:

• Derivando a primeira função, temos que

se $f(z) = e^{ikx}$, então $$\frac{d(e^{ikx})}{dx}=e^{ikx}.\frac{d(ikx)}{dx}=e^{ikx}.ik\frac{dx}{dx}=e^{ikx}.ik.1=ik.e^{ikx}.$$

• Derivando a segunda função, temos 

se $f(z) = e^{ikx}$, então $$\frac{d(e^{2x})}{dx}=e^{2x}.\frac{d(2x)}{dx}=e^{2x}.2\frac{dx}{dx}=e^{2x}.2.1=2e^{2x}.$$

• Derivando a terceira função, temos 

se $f(x)=e^{x^{2}}$, então $$\frac{d(e^{x^{2}})}{dx}=e^{x^{2}}.\frac{d(x^{2})}{dx}=e^{x^{2}}.2x=2xe^{x^{2}}.$$

7º) Calcule a funções $f(x)=e^{x}$ com o auxílio da última regra.

Multiplicaremos a função ($e^{x}$) pela derivada do expoente ($x$) da função.

Se $f(x) = e^{x}$, então $$\frac{d(e^{x})}{dx}=e^{x}.\frac{d(x)}{dx}=e^{x}.1=e^{x}.$$

Agora entendemos de fato porque a derivada de uma função exponencial desse tipo equivale à própria função. O seu desafio de hoje é acessar o programa da postagem anterior e digitar nele as derivadas deste estudo. Espero ter ajudado. Bons estudos!