Veja as 3 notações de derivadas usadas em cursos superiores

Na Física e nas Engenharias é muito usada a notação de derivadas, criada pelo matemático alemão Leibnitz (1646-1716), chamada de notação de Leibnitz, portanto, é muito importante o esforço em aprendê-la. Leibnitz foi um autodidata que viveu no século XVII e adquiriu grandes conhecimentos na área de Filosofia, Direito, Teologia e Matemática. Ele percebeu como eram importantes as notações no auxílio dos cálculos. Este estudo é mais voltado para principiantes no assunto e as equações deste estudo são escritas em Latex e são melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos.

APRENDA COMO REPRESENTAR DERIVADAS

Veja abaixo, respectivamente, alguns exemplos de notações criadas por Leibnitz, como o ponto de multiplicação, a notação para diferenciais em $x$ e $y$, para a integral de $ydx$, a notação "é semelhante a" e a notação é "congruente a":

$$(.), dx, dy, \int ydx, \sim, \simeq.$$

Nesta aula não resolveremos as derivadas, apenas as indicaremos por meio de suas notações, porém, nas postagens vindoras aprenderemos a resolvê-las, passo a passo, através das várias regras de diferenciação. Vamos aproveitar e tentar indicar as derivadas dadas na notação de Leibnitz, de Lagrange ou funcional e na notação de Newton.

A NOTAÇÃO DE GOTTFRIED WEILHELM LEIBNITZ

Considerado como um dos últimos sábios, Leibnitz foi o primeiro a empregar as expressões "função", "cálculo diferencial" e "cálculo integral".

Consideremos, pois, uma função dada por

$$f(x)=x^{2}.$$

Lê-se: função $f$ de $x$ é igual a $x^{2}.$

Queremos indicar a derivada dessa função, para isso, basta aplicar na mesma uma instrução para diferenciá-la, a qual chamamos de operador diferencial, cujo símbolo é dado por

$$\frac{{\color{Magenta} d}}{{\color{Magenta} dx}}.$$

Precisamos aplicar esse operador na função dada. Veja como:

$$\frac{{\color{Magenta} d}({\color{Blue} f(x)})}{{\color{Magenta} dx}}=\frac{{\color{Magenta} d}({\color{Blue} x^{2}})}{{\color{Magenta} dx}},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $f(x)$ em relação a $x$ é igual a derivada da função $x^{2}$ em relação a $x.$ Podemos, também, indicar a derivada dessa função usando os seguintes passos: inicialmente, vamos chamar a função $f(x)$ de $y$: $$f(x)=y.$$

Agora, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{2})}{dx}.$$

EXEMPLOS DE USOS DA NOTAÇÃO DE LEIBNITZ PARA INDICAR DERIVADAS

1º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)= 5x^{2}.$

Podemos, também, indicar a derivada dessa função da seguinte maneira:vamos chamar a função f(x) de y, assim:

$$f(x)=y=5x^{2}.$$

Agora, vamos usar a notação de Leibnitz em y, veja:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(5x^{2})}{dx},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $5x^{2}$ em relação a x. Note que foi bem simples a notação: bastou aplicar o símbolo $\frac{d}{dx}$ (que chamamos de operador diferencial - uma instrução para diferenciar a função dada) na função dada. Veja como é fácil:

$$f'(x)=(5x^{2})'.$$

2º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)=-3x^{8}.$

Chamaremos a função $f(x)$ de $y$, assim:

$$y = -3x^{8}.$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(-3x^{8})}{dx},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $-3x^{8}$ com respeito a $x.$

INDICANDO DERIVADAS NA NOTAÇÃO DE LEIBNITZ E LAGRANGE

Como é só para indicar a notação sem resolver a derivada fica muito simples, veja como: $$f'(x)=(-3x^{8})'.$$

3º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)={\sqrt{x}}.$

Vamos chamar a função $f(x)$ de $y$, assim:

$$y ={\sqrt{x}}.$$

A expressão acima pode ser escrita assim:

$$y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^\frac{1}{2})}{dx},$$

que pode ser lida assim: derivada da função

$$\sqrt{x}$$ ou derivada da função
$$x^{\frac{1}{2}}$$

em relação a $x.$

Na notação funcional (de Lagrange) a expressão pode ser represntada assim: $$f'(x)=({\sqrt{x}})'$$ ou $$f'(x)=(x^{\frac{1}{2}})'.$$

4º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada da seguinte função: $f(x)=\frac{1}{x}.$

Vamos chamar a função $f(x)$ de $y$, assim: $$y=\frac{1}{x}.$$ A expressão acima pode ser como $$y=\frac{1}{x}=1.\frac{1}{x^{1}}=1.x^{-1}=x^{-1}.$$ A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja: $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^{-1})}{dx},$$ que pode ser lida assim: derivada da função $x^{-1}$ ou $\frac{1}{x}$ em relação a $x.$Assim: $$f'(x)=(\frac{1}{x})'.$$

5º) Use a notação de Leibnitz para indicar a derivada a função:$f(x)= x^{5}$ em $x =1.$

Chamaremos a função $f(x)$ de $y$, assim:

$$y =x^{5}.$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$ veja:

$$\frac{dy}{dx}\mid_{x=1},$$ que equivale a $$\frac{d(x^{5})}{dx}\mid_{x=1}.$$

que pode ser lida assim: derivada da função $x^{5}$ em relação a $x$ em $x=1$.

Na notação de Lagrange teremos: $$f'(x)=(x^{5})'\mid_{(x=1)}.$$

6º) Use a notação de Leibnitz para indicar a função: $y=f(x)$ em $x ={x_{0}}.$

Temos que $$y=f(x).$$

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em $y$, veja:

$$\frac{dy}{dx}\mid_{x=o}.$$ Na notação funcional fica assim por $$f'(x)=(x^{5})'\mid_{(x=o)},$$

que pode ser lida assim: derivada da função $f(x)$ em relação a $x$ em $x = x_{0}$.

COMO INDICAR DERIVADAS NA NOTAÇÃO DE NEWTON

Além da notação de Leibnitz e da notação funcional ($f'$), devido a Joseph Lagrange (introduzida no século XVIII), existe a maravilhosa notação de Newton que é bastante usada em alguns livros técnicos que trata, por exemplo, da Mecânica Teórica onde a segunda lei de Newton (força resultante é o produto da massa pela aceleração) é enunciada em termos de derivadas, veja:

$$F_{r}= m\ddot{x}.$$

Note que, na lei acima (2ª lei de Newton) a grandeza aceleração é escrita com dois pontos em cima do $x$ :

$$a = \ddot{x}.$$

A grandeza velocidade é dada como:

$$v=\dot{x},$$

e lida assim: $x$ ponto.

A energia cinética, por exemplo, é denotada como

$$E_{c}={\frac{m\dot{x}^{2}}{2}}.$$

Note que Newton, em sua notação, expressou as derivadas em função da grandeza tempo. Veremos isso em outro tópico.

Nesta aula não aprendemos a resolver derivadas e sim a reconhecer um operador diferencial, a  indicar algumas funções nas notações de Leibnitz, de Lagrange (ou funcional) e de na notação de Newton. Nas aulas seguintes aprenderemos algumas técnicas de como resolver derivadas.

Se você conseguiu entender estudo básico sobre notações de derivadas, certamente terá um bom proveito nos próximos tópicos.

PROGRAMA QUE CALCULA DERIVADAS PASSO A PASSO

Você pode digitar no programa alguns exemplos (que ainda vamos aprender a resolver nas próximas aulas) da seguinte maneira:

f(x)=-1/2*(x^7) ou y=-1/2*(x^7), f(x)=1/2*(x^7) ou y=1/2*(x^7), f(x)=-9*(x^9) ou y=-9*(x^9), f(x)=300*x^(1/3) ou y=300*x^(1/3) e f(x)=(1/5)*x^(1/2) ou y=(1/5)*x^(1/2).

Se você quiser resolver essas derivadas siga os procedimentos: após digitar a derivada no programa, clique em Submit e você terá o resultado. Para ver a operação passo a passo, após clicar em Submit, clique em Show steps. Bons estudos!