Aprenda a calcular o conjugado de um número complexo

Os números complexos são extremamente importantes no uso da Física Quântica. Nesta, uma função de onda, por exemplo, é complexa, pois especifica simultaneamente duas funções, uma com parte real e a outra com parte imaginária. A função de onda na Física Clássica,  como exemplo, a onda em uma corda, não é complexa, pois não aparece a unidade imaginária $(i)$ em suas equações. O fato de as funções de onda na Quântica serem complexas é uma característica desejável porque torna evidente que não devemos tentar dar às funções de onda uma existência física. Lembre-se que uma grandeza complexa não pode ser medida por qualquer instrumento físico real. Os físicos do século dezenove questionaram sobre o que eram as ondas eletromagnéticas e em que elas se propagavam e, ao tentar responder essas questões, foram levados ao conceito enganador do éter. Como as funções da Quântica são complexas, não seremos tentados a repetir o mesmo erro. As funções de onda são instrumentos de cálculo e têm significado apenas no contexto da teoria do físico chamado Schroedinger, da qual elas fazem parte.

Não se preocupe, a introdução acima foi apenas para que você perceba quão grande é a importância dos números complexos na Física. Nesta aula, porém, queremos apenas que você continue aprendendo os conceitos básicos dos números complexos, por meio de exercícios de fixação, nos seguintes assuntos: o oposto de um número complexo, a adição de um número complexo com o seu oposto, o conjugado de um número complexo, a adição de um número complexo com o seu conjugado e o conjugado do conjugado de um número complexo. No final da postagem existe um desafio bem fácil para você para testar seus conhecimentos, sua paciência e sua perseverança em aprender mais e mais. Esta aula complementa a anterior, intitulada Aprenda facilmente a reconhecer um número complexo. Lembrando que as equações desse estudo são escritas em Latex e podem ser melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos!

O OPOSTO DE UM NÚMERO REAL

Aprendemos no nível médio que o conjunto dos números reais, representado pela letra $\Re$, engloba todos os números racionais e irracionais. Vamos recordar também que o oposto de qualquer número real é o seu simétrico, ou melhor, dois números que estão à mesma distância da origem ($0$) em uma reta numérica e em sentidos contrários, são chamados números opostos ou simétricos.

Por exemplo, o oposto de $20$ é $-20$ e o oposto de $-7$ é $+7$. Note que o sinal de menos na frente do número indica seu oposto, veja:

a) $–(+5)$ é o oposto de $+5$, ou seja, $–5$;

b) $–(–20)$ é o oposto de $–20$, ou seja, $20$;

c) $–(–(–100))$ é o oposto do oposto de $–100$, ou seja, é $–100.$

Note que um número somado com seu oposto é sempre zero, por exemplo, $$20 + (-20)=0.$$

O OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Para encontrarmos o oposto de um número complexo, precisamos inverter os sinais, da parte real e do coeficiente da parte imaginária. Representaremos o oposto de um número complexo por $-z$. Exemplos:

a) Dado o número complexo $z = 10 – 9i$, o seu oposto será:

$$-z=-10+9i.$$

b) Dado o número complexo $z = -1 – 4i$, o seu oposto será:

$$-z=1+4i.$$

c) Dado o número complexo $z = -2 – 5i$, o seu oposto será:

$$-z=2+5i.$$

ADICIONANDO UM NÚMERO COMPLEXO AO SEU OPOSTO

O que acontece se adicionarmos um número complexo ao seu oposto? O resultado será zero. Como exemplo, vamos adicionar o número complexo $$z=2+5i$$ com o seu oposto $$-z=-2-5i.$$ O resultado será $$z+(-z)=2+5i+(-2-5i)=2-2+5i-5i=0+0=0.$$

O CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O conjugado de um número complexo é representado pelo símbolo $z^{*}$ ou $\bar{z}.$ Para se achar o conjugado de um número complexo, precisamos inverter apenas o sinal do coeficiente da parte imaginária desse número. Observe os conjugados dos seguintes números complexos:

a)$z=5+2i$

$$\bar{z}=5-2i.$$

b)$z=-3-2i$

$$z^{*}=-3+2i.$$

c)$z=-10+10i$

$$\bar{z}=-10-10i.$$

ADICIONANDO UM NÚMERO COMPLEXO AO SEU CONJUGADO

O que acontece se adicionarmos o número complexo com o seu conjugado? Sempre resultará em um complexo com y = 0, ou seja, um número real. No exemplo acima da letra c, temos que $$z+z^{*}=-10-10+10i-10i=-20+0=-20.$$ Então podemos afirmar que o conjugado de um número complexo é o número que, adicionado ao número complexo, fornecerá sempre como resultado um real. No exemplo, $z=5+2i$, vamos achar seu conjugado: $$z+\bar{z}=5+2i+5-2i=10+0=10.$$ No exemplo dado acima, pela definição de números complexos $z=x+iy$, temos que $$z=10+i.0=10+0=10,$$ que é um número complexo real e isso nos faz perceber que, todo número real é número complexo, mas nem todo número complexo é número real.

O CONJUGADO DO CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Vamos considerar o seguinte número complexo: $z=7 + 3i$. Seu conjugado será $z^{*}=7-3i$ que, por sua vez, terá um conjugado dado por $(z^{*})^{*}=7+3i$. Podemos perceber que o conjugado do conjugado de um número complexo será o próprio número complexo e pode ser representado por $\bar{\bar{z}}$ ou $(z^{*})^{*}$. Observe-os nos exemplos a seguir:

a)$z=1-2i$

O conjugado de $z$ será $\bar{z}=1+2i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$\bar{\bar{z}}=1-2i=z.$$

b)$z=-4-10i$

O conjugado de $z$ será $z^{*}=-4+10i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$(z^{*})^{*}=-4-10i=z.$$

c)$z=-15+i$

O conjugado de $z$ será $z^{*}=-15-i$ que, por sua vez, terá um conjugado equivalente a $$(z^{*})^{*}=-15+i=z.$$

ESCREVENDO NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA $ax + bi$

Vamos recordar o método para saber quando o número é real ou complexo, veja exemplos:

• O número $i^{16}$ é real? Sim, pois

$$i^{16}=(i^{2})^8 =(-1)^{8}=1.$$

• O número $i^{10}$ é real? Sim, pois

$$i^{10}=(i^{2})^5 =(-1)^{5}=-1.$$

• E o número $3i+2i^{2}$ é real ou complexo? É complexo, pois

$$3i+2i^{2}=3i+2(−1)=3i-2.$$

• Escreva o número complexo $1+i+i^{2}+i^{3}+i ^{4}$ na forma $a+bi$, onde $a$ e $b$ são números reais e $i= \sqrt{-1}$.

Sabemos que $$i^{2}=-1;$$ $$i^{3}=(i^{2}).i=(−1).i=-i;$$ $$i^{4}=( i^{2})^2=(−1)^2=1.$$ Então, temos que $$1+i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=1+i+(-1)+(-i)+1=1+i-1-i+1=1.$$ Portanto, a resposta é 1. Desafios semelhantes você encontrará a seguir.

DESAFIOS PARA VOCÊ

Estes desafios servem para você testar seus conhecimentos, sua paciência, sua perseverança em aprender mais e mais. Vencendo esses desafios você estará mais apto a encarar a próxima postagem. Agora faça a sua parte: papel e caneta nas mãos e resolva as cinco questões, na sequência, tentando escrever um número complexo na forma $ax+bi$ e tentando descobrir se os números dados são reais ou complexos. Lá no site dos desafios existem muitas dicas para você resolver as questões. Se você conseguir resolver as questões, pode comentar logo abaixo a sua vitória. Bom, para começar clique na figura abaixo e boa sorte!