Aprenda facilmente como derivar usando a regra da potência

Nesta etapa vamos aprender como derivar uma função usando uma regra bem básica de derivação: a regra da potência. Inicialmente, vamos priorizar as derivadas de funções cujas potências possuem expoentes inteiros positivos e usar as notações de Leibnitz e a funcional para representá-las. Como o nosso site é mais voltado para principiantes na área de exatas, os exemplos aqui postados são os mais básicos possíveis. Nossa metodologia de ensino é bem simples e é semelhante a que seguimos no estudo anterior, o qual você deve acessar antes de começar este, intitulado: Como indicar derivadas na notação de Leibnitz e na notação funcional. Aqui seguiremos a rotina de visualizar exemplos de funções, enunciar a regra da derivação, resolver exercícios para fixar o conteúdo e provocar o leitor para resolucionar questões bem fáceis. Lembrando que as equações são escritas no editor Latex, portanto, melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e lápis nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE FUNÇÕES QUE POSSUEM EXPOENTES INTEIROS POSITIVOS

• $f(x) = {x^{11}};$

• $f(x) = {x^{3}};$

• $f(x) = 2{x^{7}};$

• $f(x) = -9{x^{4}};$

• $f(x)=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};$

• $f(x)=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};$

• $f(x)=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.$

As funções acima podem ser escritas da seguinte maneira:

• $y = {x^{11}};$

• $y = {x^{3}};$

• $y = 2{x^{7}};$

• $y = -9x^{4};$

• $y=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};$

• $y=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};$

• $y=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.$

Note, acima, que apenas trocamos o $f(x)$ por $y.$

REGRA DE DERIVAÇÃO PARA FUNÇÕES QUE POSSUEM EXPOENTES INTEIROS POSITIVOS

Se $f(x) = x^{n}$, onde $n$ é um número positivo e $x$ é diferente de zero, então

$$f'(x)=nx^{n-1}.$$

A NOTAÇÃO FUNCIONAL E A NOTAÇÃO DE LEIBNITZ

Vamos tentar usar em todos os exercícios a notação funcional $f'(x)$ e a notação de Leibniz, usando o seguinte operador diferencial:

$$\frac{d}{dx}.$$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1º) Derive a seguinte função: $f(x)=x^{3}.$

A função acima pode ser escrita como
$$y=x^{3}.$$

Derivando-a em relação a $x,$ aplicando-se a regra na equação, temos que:

$$f'(y)=f'(x^{3})=3x^{3-1}=3x^{2}.$$

Podemos calcular essa derivada com outra notação: basta aplicar o operador diferencial na função $y$ e teremos o mesmo resultado ($3x^{2}$). Assim:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{3})}{dx}=3x^{3-1}=3x^{2}.$$

2º) Derive a seguinte função: $f(x)=x^{10}.$

A equação acima pode ser escrita como $$y=x^{10}.$$ Deivando-a com respeito a $x$ e aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(x^{10})=10x^{10-1}=10x^{9}.$$

Agora, vamos calcular a derivada desta função aplicando o operador diferencial na equação, veja:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{10})}{dx}=10x^{10-1}=10x^{9}.$$

3º) Dado $a=t^{12}$, calcule $\frac{da}{dt}.$

Derivando-a em relação a $t$ e aplicando a regra, temos que:
$$f'(a)=f'(t^{12})=12t^{12-1}=12t^{11}.$$

Vamos calcular a derivada desta função aplicando o operador diferencial na função, veja:

$$\frac{d(a)}{dt}=\frac{d(t^{12})}{dt}=12t^{12-1}=12t^{11}.$$

4º) Ache a derivada de $f(x)=-\frac{2}{x^{-5}}.$

Já vimos que a função acima pode ser escrita da seguinte maneira:

$$y=-\frac{2}{x^{-5}}=-2\frac{1}{x^{-5}}=-2x^{5}.$$ Derivando-a com respeito a $x,$ aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(-2x^{5})=-5.2x^{5-1}=-10x^{4}.$$ Aplicando-se o operador diferencial na função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(-2x^{5})}{dx}=-2\frac{d(x^{5})}{dx}=-2.5x^{5-1}=-10x^{4}.$$

Nesta questão aplicamos, sutilmente, uma outra regra chamada "regra da homogeneidade" que ainda iremos estudar em outras postagens.

5º) Ache a derivada de $f(x)= \frac{11}{x^{-10}}.$

A função acima pode ser escrita como:

$$y=\frac{11}{x^{-10}}=11\frac{1}{x^{-10}}=11x^{10}.$$ Derivando-a em relação a $x$, aplicando a regra, temos que:
$$f'(y)=f'(11x^{10})=10.11x^{10-1}=110x^{9}.$$ Aplicando-se o operador diferencial na função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(11x^{10})}{dx}=11\frac{d(x^{10})}{dx}=11.10x^{10-1}=110x^{9}.$$

6º) Ache a derivada de $f(x)=41x^{2}.$

Já vimos que a função acima pode ser escrita da seguinte maneira: $$y=41x^{2}.$$ Derivando-a em relação a $x$, aplicando a regra, temos que: $$f'(y)=f'({41x^{2}})=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.$$ Aplicando-se o operador diferencial na função, temos: $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(41x^{2})}{dx}=41\frac{d(x^{2})}{dx}=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.$$ Portanto, $$f'(x) = \frac{dy}{dx}=82x.$$

DESAFIOS PARA VOCÊ

Calcule em seu caderno as seguintes derivadas:

a) $f(x)=x^{12};$
b) $f(x)=x^{21};$
c) $f(x)=-\frac{3}{x^{-9}};$
d) $f(x)= \frac{20}{x^{-20}};$
e) $f(x)=11x^{8}.$

Após calcular as derivadas acima, faça-as no programa abaixo e compare as respostas.

VEJA AS MANEIRAS DE DIGITAR AS DERIVADAS

a) f(x)=x^12;
b) f(x)=x^21;
c) f(x)=-3/{x^-9};
d) f(x)=20/{x^-20};
e) f(x)=11*x^8.

Após digitar a derivada no programa clique em Submit e você terá o resultado. Para ver a operação passo a passo, após clicar em Submit, clique em Show steps. Aproveite e digite no programa todas as funções dadas nesta postagem e compare os resultados. Bons estudos!